سه‌شنبه، تیر ۲۳، ۱۳۸۳
داشتم تو مقاله هایی که از اینترنت گرفتم دنبال یه چیزی میگشتم که عنوان مقاله ای رو به جای Truth Operators اشتباها Truth Generator خوندم و یه دفعه ای تعجب کردم! بعد ازاون یه کم به پروژه ی Truth Generation فکر کردم. مثلا برنامه ای که چیزهایی مثل x=x و x & y)=(y & x)) بسازه. اولین قدم در فاصله گرفتن از این ایده ی خام اینه که حتا چنین عبارت های ساده ای (که به قیمت درست بودن معنادار بودن رو (معنای تجربی) به کلی از دست دادن) هم حقیقت های همیشگی نیستن، فرم هایی هستن که در سیستم هایی درستن و در سیستم هایی نه. مثلا میشه یه سیستم منطقی-ریاضی تعریف کرد که توش هرکدوم از دو رابطه ی بالا درست نباشه. فکر نکنین دارم افراط میکنم، حتا عبارت اول که به نظر غیر قابل انکار میاد تو free logic همیشه درست نیست. اینکه یه عبارت منطقی درسته یا نه، فقط و فقط به این بستگی داره که اصول موضوعه، قواعد استنتاج و قواعد نوشتاری اون منطق چی باشه. حالا قدم بعدی اینه که بگیم با مشخص کردن سیستم منطقی مشکل حل میشه. مثلا اینکه ادعا کنیم fr(x=x) یه حقیقته، و منظورمون x=x در منطق فرگه باشه. حالا واقعا مشکل حل شد؟
البته میدونم که به نظر میاد مشکل حل شده، ولی به نظر من اینطور نیست، چون ارتباطی که بین اون جمله و سیستمی که جمله بهش تعلق داره برقرار کردیم، خودش یه ارتباط منطقیه، و ارتباط منطقی هم غیر مطلق و تابع سیستم منطقه. برای اینکه منظورم بهتر روشن بشه اینطوری توضیح میدم که fr(x=x) برابر با اینه که بگیم "با فرض منطق فرگه، x=x" یا "اگر منطق فرگه، آنگاه x=x" که مشخصه یه استلزام منطقیه. توجه کنین که این استلزام منطقی تنها در برداشت خاصی که من از ماجرا کردم وجود نداره، بلکه در هر شکل ممکنی از fr(x=x) یه رابطه ی منطقی وجود داره که یا استلزامه، یا قابل تبدیل به استلزام. خوب، حالا اگه بخوایم fr(x=x) رو حقیقت بدونیم، این مشکل وجود داره که عملا یه منطق دیگه ای رو فرض کردیم که توش استلزام منطقی رو به شکلی خاص داره، شکلی که در هر سیستمی یه جوره (این منطقی که فرض میکنیم معمولا همون منطق فرگه ست، در حالی که تو منطق های دیگه ای مثل منطق ربط استلزام منطقی عملکرد کاملا متفاوتی داره). خوب، پس باز نتونستیم به حقیقت، هرچند از نوع خیلی بی مزش، دست پیدا کنیم. نیاز به توضیح نیست که اگه این سیستم منطقی دوم، که اسمش فرا-منطق (Meta Logic) هست رو به جمله اضافه کنیم و مثلا fr(fr(x=x)) یا gl(fr(x=x)) بسازیم باز هم مشکل حل نمیشه، چون با وجود اینکه مشکل ارتباط بین منطق و جمله حل شد، مشکل جدید ارتباط بین منطق و فرا-منطق باقی میمونه که اون هم یه ارتباط منطقیه و پای فرا-فرا-منطق پیش کشیده میشه و این قصه همینطور ادامه پیدا میکنه.
ببینم، کسی این افکار چند-دقیقه-ی-پیشی من رو فهمید؟ به نظر کسی جالب اومد؟
دلم میخواد حرف هام فقط برای یه متخصص قابل فهمیدن نباشه و هرکسی که کلش کار میکنه اونا رو بفهمه.
"""یه استادی به من اصرار میکنه چیزی رو که زیاد بلد نیستم سمینار بدم (تو IPM یا یه دانشگاه) و ظاهرا نمیخواد صبر کنه یکی دوتا کتاب در موردش بخونم و بعد این کار رو بکنم". این جمله در منطق فلان مدل نمیشه" این جمله اعتباری نداره چون هر جمله ای در هر منطقی مدل میشه". از این جمله میشه نتیجه گرفت که من خوابم میاد.
خوب، تو تمرین بالا یه جمله داریم، میشه سطح صفر، که میخوایم باهاش یه کار منطقی کنیم (جایی که گفتم "این جمله در منطق فلان مدل نمیشه") و کل این ماجرا، یعنی خود اون جمله و کار منطقی ای که باهاش میکنیم موضوع یه کار فرا-منطقی خواهد بود (جایی که گفتم "این جمله اعتباری نداره چون هر جمله ای در هر منطقی مدل میشه") و باز هم تمام اینها خودش موضوع کاری در یه سطح بالاتر، یعنی فرا-فرا-منطق خواهد بود ("از این جمله میشه نتیجه گرفت که من خوابم میاد"). توجه کنین که "این جمله" در "از این جمله میشه نتیجه گرفت که من خوابم نمیاد" به جمله ی """یه استادی به من اصرار میکنه چیزی رو که زیاد بلد نیستم سمینار بدم (تو IPM یا یه دانشگاه) و ظاهرا نمیخواد صبر کنه یکی دوتا کتاب در موردش بخونم و بعد این کار رو بکنم". این جمله در منطق فلان مدل نمیشه". این جمله اعتباری نداره چون هر جمله ای در هر منطقی مدل میشه" اشاره میکنه.
حالا به نظر شما اگه جمله ی سطح اول، یعنی "این جمله در منطق فلان مدل نمیشه" رو با جمله ی "جمله ی سطح سوم این تمرین اشتباهه (یا درسته)" جایگزین کنیم چی میشه؟ اگه قبلا یه کم از این بازیها کرده باشین سریعا میفهمین که با یه کم جابجا کردنش میشه یه پارادوکس درست کرد. با این حال، چنین جمله ای یه جمله ی معتبر منطقی (در منطق های متداول) نخواهد بود و اصطلاحا بهش بی معنی میگن (چیز بی معنی نه درسته و نه نادرست) چون قاعده اینه که هیچ سطحی سطح بالاتر رو نمیبینه و این جمله از این قاعده سرپیچی کرده. مورد مشابهش میتونه "این جمله نادرست است" باشه که پارادوکس معروفیه. شاید تعجب کنین که کجای این جمله به سطح بالاتری نگاه کرده. اگه کمی دقیق باشین میبینین که ادعای این جمله ادعاییه که به سطحی بالاتر تعلق داره. به طور کلی، درستی و نادرستی جمله های منطقی مسئله ایه که به خود منطق تعلق نداره، بلکه در فرا-منطق معنی پیدا میکنه. در نتیجه وقتی جمله ای درباره ی درستی خودش، یا جمله های هم سطح خودش صحبت میکنه، داره سعی میکنه کاری رو انجام بده که به سطح خودش تعلق نداره و این جمله رو بی معنی میکنه.
این نوشته رو برای این تو وبلاگم میذارم که فکر نکنین اینجا فقط باید حرف های تک جمله ای خوند.